1. Der Würfel

      1.1 Definition
      1.2 Oberfläche
      1.3 Der Einheitswürfel
      1.4 Das Volumen
      1.5 Zusammenfassung

2. Der Quader

      2.1 Definition
         2.2 Oberfläche
      2.3 Volumen
      2.4 Zusammenfassung

3.Aufgaben
 

1.1 Definition:

Der Würfel ist ein von 6 kongruenten, d.h. gleichen Quadraten begrenzter Körper mit 12 gleich langen Kanten und 8 Ecken.

1.2 Oberfläche

       Die Oberfläche ist der Flächeninhalt der Fläche, die den Körper äußerlich begrenzt.
       Im Falle des Würfels sind dies die 6 Quadrate. Die Oberfläche wird in cm² angegeben und
       mit O bezeichnet.

       Um die Oberfläche eines Würfels berechnen zu können, benötigt man also zunächst den Flächeninhalt eines
       jeden Quadrates. Das ist hier jedoch ganz einfach, da alle Quadrate gleich groß sind. Es ist also völlig
       ausreichend den Flächeninhalt eines Quadrates zu berechnen und mit

1.)8 zu multiplizieren.
2.)12 zu multiplizieren.
3.)6 zu multiplizieren.

        Der Flächeninhalt eines Quadrates berechnet sich bekannterweise mit der folgenden Formel:

        wobei a die Kantenlänge des Quadrates ist. Im Falle des Würfels erhält man also für die Oberfläche

1.2.1 Beispiel 1

      Berechne die Oberfläche eines Würfels mit der Kantenlänge 7 cm !

        Rechnung: 6 ^. 7² = 6 ^. 49 = 294

        Antwort: Die Oberfläche eines Würfels mit der Kantenlänge 7 cm beträgt 294 cm².

1.2.2 Beispiel 2

      Berechne die Oberfläche eines Würfels mit der Kantenlänge 4 cm !

        Rechnung: 6 ^. 4² = 6 ^. 16 = 96

        Antwort: Die Oberfläche eines Würfels mit der Kantenlänge 4 cm beträgt 96 cm².

1.2.3 Beispiel 3

Wie groß ist die Oberfläche eines Würfels mit der Kantenlänge 9 cm ?

Antwort:cm²

---

      Der Einheitswürfel ist ein Würfel mit der Kantenlänge 1 cm. Er hat also eine Oberfläche von 6 cm² und
      einen Rauminhalt von 1 cm³ . Dieser Würfel ist die Grundeinheit für die Berechnung des Rauminhaltes
      ( Volumen ) eines beliebigen Würfels.

      Das Volumen oder auch Rauminhalt genannt beschreibt das Fassungsvermögen eines Körpers.
      Es wird in cm³ angegeben und mit V bezeichnet.
      z.B. Wieviele Liter Wasser gehen in eine Tonne ?

      Um nun eine Formel für die Berechnung des Rauminhalt eines Würfels zu finden, nehmen wir uns den
      oben definierten Einheitswürfel zu Hilfe.

      Aufgabe:
      Bestimme den Rauminhalt des Würfels mit der Kantenlänge 5 cm !
      Vorgehensweise:
      Man überlegt sich wieviele Einheitswürfel man braucht, um den gegebenen Würfel zu füllen.

 Wie man sieht kann man den Boden des großen Würfels mit 25 Einheitswürfeln auslegen.
 Man braucht also 5 ^.  5 = 25 Einheitswürfel. Legt man nun eine weitere Schicht darüber,
 sind es 50, also 2 ^. 25. Man hat nun eine Höhe von 2 cm erreicht. Es fehlen noch 3 cm.
 Man legt also noch eine Schicht aus usw, bis man die 5 cm Höhe erreicht hat.
 Insgesamt braucht man 125 = 5 ^.25 = 5 ^. 5 ^. 5 Einheitswürfel,  um den gesamten Würfel zu füllen.
 125 Würfel zu je 1 cm³ ergeben 125 cm³. Die Formel des Volumens lautet:

1.4.1 Beispiel 1

         Berechne das Volumen des Würfels mit der Kantenlänge 7 cm !

         Rechnung: 7³ = 7 ^. 7 ^. 7 = 343

         Antwort: Der Würfel hat ein Volumen von 343 cm³.

1.4.2 Beispiel 2

         Berechne das Volumen des Würfels mit der Kantenlänge 3 cm !

         Rechnung: 7³ = 3 ^. 3 ^. 3 = 27

         Antwort: Der Würfel hat ein Volumen von 27 cm³.

1.4.3 Beispiel 3

         Welches Volumen hat ein Würfel der Kantenlänge 12 cm ?

Antwort:cm³

---

12 gleich lange Kanten

  8 Ecken

  6 Seitenflächen

2.1 Definition

 
Der Quader ist ein Körper, der von sechs rechteckigen Flächen begrenzt wird, wobei immer zwei sich gegenüberliegende Flächen gleich groß sind. Der Quader hat 12 Kanten, die nicht alle gleich lang sein müssen,
und 8 Ecken.

Anmerkung: Der Würfel ist ein Spezialfall des Quaders.
 

2.2 Oberfläche

        Um die Oberfläche des Quaders berechnen zu können benötigt man den Flächeninhalt der 6 Rechtecke.
        Da jedoch immer zwei Rechtecke paarweise gleich sind, benötigt man nur noch drei. In der Grafik oben sind das die
        Fläche, die von a und b ( gelb ), die Fläche, die von b und c ( grün ) und die Fläche, die von c und a ( blau ) begrenzt
        werden.

        Der Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet sich bekannterweise mit der Formel:
 
 

        In unserem Fall sind das:

• A1 = a ^.  b
• A2 = b ^. c
• A3 = c ^. a

 

 

Hat man nun diese Flächen berechnet, addiert man sie folgendermaßen auf:

2 ^. A1 + 2 ^. A2 + 2 ^.  A3  =  2 ^.  ( a ^.  b ) + 2 ^.  ( b ^. c ) + 2 ^.  ( c ^.  a )

Als allgemeine Formel für die Oberfläche eines Quaders ergibt sich:
 
 

O = 2 .( a . b ) + 2 . ( b . c ) + 2 . ( c . a )

2.2.1 Beispiel 1

         Berechne die Oberfläche des Quaders mit den Kantenlängen a = 5 cm, b = 8 cm und c = 3 cm!

         Rechnung: O = 2 ^.  ( a ^.  b ) + 2 ^.  ( b ^.  c ) + 2 ^.  ( c ^. a )
                                = 2 ^.  ( 5 ^.  8 ) + 2 ^.  ( 8 ^.  3 ) + 2 ^.   ( 3 ^.  5 )
                                = 2 ^.  40 + 2 ^.  24 + 2 ^.  15
                                = 80 + 48 + 30
                                = 158

         Antwort: Der Quader hat eine Oberfläche von 158 cm².

2.2.2 Beispiel 2

         Berechne die Oberfläche des Quaders mit den Kantenlängen a = 3 cm, b = 4 cm und c = 5 cm!

         Rechnung: O = 2 ^.  ( a ^.  b ) + 2 ^.  ( b ^.  c ) + 2 ^.  ( c ^. a )
                                = 2 ^.  ( 3 ^.  4 ) + 2 ^.  ( 4 ^.  5 ) + 2 ^.  ( 5 ^.  3 )
                                = 2 ^.  12 + 2 ^.  20 + 2 ^.  15
                                = 24 + 40 + 30
                                = 94

         Antwort: Der Quader hat eine Oberfläche von 94 cm².

2.2.3 Beispiel 3

         Wie groß ist die Oberfläche des Quaders mit den Kantenlängen a = 3 cm, b = 2 cm und c = 9 cm?

Antwort:cm²

2.3 Volumen

       Die Formel für das Volumen leitet man sich auf die gleiche Art her, wie die für den Würfel.
       Man nimmt sich einen beliebigen Quader und versucht ihn mit Einheitswürfeln zu füllen.
       Zuerst legt man die Grundfläche, die Fläche auf der der Quader " liegt", komplett mit Würfeln aus.
       Dann füllt man weiter Schicht für Schicht auf.

       Für das Volumen eines Quaders gilt:
 

2.3.1 Beispiel 1

       Berechne das Volumen eines Quaders mit den Kantenlängen a = 5 cm, b = 8 cm und c = 3 cm!

       Rechnung: V = a ^.  b ^.  c
                             = 5 ^.  8 ^.  3
                             = 120

       Antwort: Das Volumen des Quaders beträgt 120 cm³.

2.3.2 Beispiel 2

       Berechne das Volumen eines Quaders mit den Kantenlängen a = 7 cm, b = 9 cm und c = 2 cm!

       Rechnung: V = a ^.  b ^.  c
                             = 7 ^.  9 ^.  2
                             = 126

       Antwort: Das Volumen des Quaders beträgt 126 cm³.

2.3.3 Beispiel 3

         Wie groß ist das Volumen des Quaders mit den Kantenlängen a = 3 cm, b = 2 cm und c = 9 cm ?

Antwort:cm³

          Ein Quader hat

• 12 nicht unbedingt gleich lange Kanten
•   8 Ecken
•   6 Seitenflächen

Aufgabe 1

Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge a = 4 cm.
Berechne das Volumen und die Oberfläche des Würfels!