I. Die binomischen Formeln

• Was ist das denn?
• Und wozu soll das gut sein?
• Muss ich die etwa auswendig lernen?

II. Und hier kommen sie!!!

• 1. binomische Formel
• geometrisch
• rechnerisch
• Beispiele
• eine leichte Aufgabe
• 2. binomische Formel
• geometrisch
• rechnerisch
• Beispiele
• eine leichte Aufgabe
• 3. binomische Formel
• geometrisch
• rechnerisch
• Beispiele
• eine leichte Aufgabe
• Alle drei auf einen Blick

III. Wenn du alle drei Formeln auswendig kannst - vorwärts und rückwärts - dann darfst du jetzt dein Wissen testen.

• mega leicht
• leicht
• mittelschwer
• schwer

Die binomischen Formeln - Huh!!!!! Das hört sich ja mächtig fiese an! - Ist es aber gar nicht!
Wenn ihr diese Internetseite durchgearbeitet habt, wird der verzweifelte Ausruf eurer großen Schwester am Mittagstisch: "Wir müssen heute als Hausaufgabe Brüche mit Hilfe von diesen schrecklichen binomischen Formeln vereinfachen!" bei euch höchstens noch ein müdes, wenn auch mitleidiges, Lächeln hervorrufen.
Klären wir also zuerst einmal, worüber wir reden und ob das so furchtbar ist, wie es sich anhört. Der Begriff "Binomische Formel" besteht aus zwei Teilen.
1. Binomische
2. Formel

In der 8. Klasse oder früher kann man den Nutzen der binomischen Formeln nur relativ schwer erkennen. Ein 8. Klässler könnte sagen: "Na gut, ich muss (a+b) (a-b) nicht einzeln ausmultiplizieren, sondern kann das Ergebnis mit Hilfe der binomischen Formeln gleich hinschreiben. Aber das soll alles sein?" ----- NEIN, natürlich nicht!!!!!!!!

Die Qualitäten der binomischen Formeln werdet ihr in der 9. und 10. Klasse erst zu schätzen lernen. Denn bei der Lösung von quadratischen Gleichungen und dem Vereinfachen von Brüchen und Wurzeltermen sind die binomischen Formeln von größter Bedeutung. Wer diese beherrscht - "von links nach rechts" und "von rechts nach links" - wird bei der Lösung keine Probleme haben.

Also los!!!!

Ich denke, dass ihr die Antwort auf diese Frage schon kennt.

Um den Flächeninhalt eines Quadrates mit den Kantenlängen (a+b) zu berechnen, kann man statt das Produkt (a+b)(a+b) auszurechnen auch die vier Teilflächen addieren.

Es gilt also: (a+b)(a+b)=a²+2ab+b²
 

Man erhält die 1. binomische Formel auch durch einfaches ausmultiplizieren.

(a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²

(3a+b)²=9a²+6ab+b²       -  Da a und b Variablen sind, also beliebig wählbar, gilt die binomische Formel natürlich auch für 3a.

(2x+3y)²=4x²+12xy+9y² -  Du siehst, dass du für a und b alles Mögliche einsetzen kannst. Dem a aus der Formel entspricht das 2x und dem b entspricht 3y. Du erhälst das Ergebnis, indem du 2x und 3y auch auf der rechten Seite der binomischen Formel (a²+2ab+ b²) einsetzt. Also (2x)²+2(2x)(3y)+(3y)²=4x²+12xy+9y².

16j²+16jk+4k²=(4j+2k)² - Hier wurde die 1. binomische Formel "von rechts nach links" angewendet!
Überlege, wie man auf die Lösung kommen kann! Wenn du es dir überlegt hast, kannst du dir diesen Hinweis ansehen.

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Wie kann man die Fläche des gelben Quadrates mit der Seitenlänge (a-b) noch berechnen. Ganz einfach. Man zieht von dem großen Quadrat die rote und die blauen Flächen ab.

Es gilt also: (a-b)(a-b)=a²-b²-2(ab-b²)=a²-b²-2ab+2b²=a²-2ab+b²
 

Man erhält die 2. binomische Formel auch durch einfaches ausmultiplizieren.

(a-b)²=(a-b)(a-b)=a²-ab-ab+b²=a²-2ab+b²

(s-5u)²=s²-10su+25u²

(11g-12h)²=121g²-264gh+144h²

81v²-54vw+9w²=(9v-3w)² Bei solch einer Aufgabe gehst du folgendermaßen vor:

Wenn man ein Quadrat mit Seitenlänge a hat und verkürzt die eine Seite um b und verlängert die andere Seite gleichzeitig um b, dann berechnet sich der Flächeninhalt des Rechteckes mit den Seitenlängen (a-b) und (a+b) durch:

(a-b)(a+b)=a²-(ab-b²)-b²+(ab-b²)=a²-b²
 

Man erhält die 3. binomische Formel auch durch einfaches ausmultiplizieren.

(a-b)(a+b)=a²-ab+ab-b²=a²-b²

(2s-t)(2s+t)=4s²-t²

(2x-5y)(2x+5y)=4x²-25y²

49f²-64g²=(7f-8g)(7f+8g) -  Auch hier musst du nur die Wurzel ziehen, um auf das richtige Ergebnis zu kommen!

1.bF: (a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²

2.bF: (a-b)²=(a-b)(a-b)=a²-ab-ab+b²=a²-2ab+b²

3.bF: (a-b)(a+b)=a²-ab+ab-b²=a²-b²

III. Wenn du alle drei Formeln auswendig kannst - vorwärts und rückwärts - dann darfst du jetzt dein Wissen testen.

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